Marklet

page

La divisibilité dans Z

Situation-problème

Un professeur dispose de 84 cahiers et souhaite les répartir équitablement entre plusieurs groupes d'élèves de telle sorte que chaque groupe reçoive le même nombre de cahiers, sans qu'il en reste.

Le reste de la division euclidienne de b par a est nul.

  • Divisibilité
  • Arithmétique
  • DivisionEuclidienne

Ensemble de départ

Z

Condition d'existence

a != 0

Élément central

84 cahiers

Programme et Recherche

  1. 1Partie A : Recherche et découverte1. Peut-on répartir les 84 cahiers entre 6 groupes sans reste ? Justifier. Oui, car 84 = 6 x 14. 2. Peut-on les répartir entre 5 groupes sans reste ? Justifier. Non, car 84 = 5 x 16 + 4. 3. Compléter le tableau suivant des divisions euclidiennes de 84 par les nombres de groupes (2, 3, 5, 7). 4. Donner les nombres qui divisent 84 d'après les résultats précédents : 2, 3 et 7.
  2. 2Partie B : GénéralisationSoit a, b dans Z, avec a != 0. 5. En utilisant la division euclidienne, montrer que : a/b <=> il existe k dans Z, b = a.k. 6. Déduire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant : 4/28 (Vrai), 6/35 (Faux), 7/-49 (Vrai), 0/12 (Faux). 7. Montrer que pour tout a, b, c dans Z : - Si a/b et a/c alors a/b+c - Si a/b alors a/bc - Si a/b et a/c alors a/bc
  3. 3Partie C : Synthèse et Nombres premiersa/b ssi il existe k dans Z tel que b = a.k. Définition : Deux nombres premiers entre eux si leur diviseur positif commun est 1. Exemple : pgcd(12, 18) = 6 != 1. Théorème fondamental de l'arithmétique : Tout entier n >= 2 peut s'écrire comme un produit de nombres premiers.

Applications et Exemples

  1. 1Application 1Calcul du PGCD de (72 et 120). 72 = 2^3 x 3^2 120 = 2^3 x 3 x 5
  2. 2Application 2Soit A = 360 et B = 504. Décomposer A et B : A = 360 = 2^3 x 3^2 x 5 B = 504 = 2^3 x 3^2 x 7